미적분 예제

$\frac{x + 2}{x - 6}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식에 $y - 6$ 을 곱합니다.

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y - 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - 6 x = y + 2$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y x - 6 x - y = 2$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $6 x$ 를 더합니다.

$y x - y = 2 + 6 x$

단계 2.4.3

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = 2 + 6 x$

단계 2.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

단계 2.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

단계 2.4.4

$y (x - 1) = 2 + 6 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$y (x - 1) = 2 + 6 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.3.2

$2 + 6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.3.2.2

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

단계 2.4.4.3.2.3

$2 (1) + 2 (3 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ 가 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

단계 4.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$3$ 와 $\frac{x + 2}{x - 6}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.5

인수분해된 형태로 $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.5.3

$x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.5.4

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.3.5.5

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

단계 4.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 6}{x - 6}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

단계 4.2.4.2

$- 1$ 와 $\frac{x - 6}{x - 6}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

단계 4.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

단계 4.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

단계 4.2.4.4.2

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

단계 4.2.4.4.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

단계 4.2.4.4.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

단계 4.2.4.4.5

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

단계 4.2.5

$2$ 와 $\frac{4 x}{x - 6}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

단계 4.2.6

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

단계 4.2.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

단계 4.2.8

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

단계 4.2.8.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

단계 4.2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

단계 4.2.9

$x - 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

단계 4.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

단계 4.3.3

$(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ 및 $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

단계 4.3.3.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

단계 4.3.3.3

$2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

단계 4.3.3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.4.1

$\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

단계 4.3.3.4.2

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

단계 4.3.3.4.3

$2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

단계 4.3.3.4.4

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

단계 4.3.3.4.5

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

단계 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

단계 4.3.4.2

조합합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

단계 4.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.7.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.7.3

$3 x + x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.7.4

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

단계 4.3.8.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

단계 4.3.8.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

단계 4.3.8.4

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

단계 4.3.8.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

단계 4.3.8.6

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

단계 4.3.9

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

단계 4.3.9.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ 은 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$