미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

단계 1

함수의 도함수를 구합니다. 직선에 접하는 방정식의 기울기를 구하려면 원하는 $x$ 값에서 도함수를 계산합니다.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

단계 2

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x^{2}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.3

$2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$12 x^{2} - 14 x + 0$

단계 5.2

$12 x^{2} - 14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 14 x$

단계 6

$y$ 의 항에서 방정식의 도함수는 $f' (x)$ 로 나타낼 수도 있습니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

단계 7

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

단계 8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

단계 8.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

단계 8.3

$- 14$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 192 - 56$

단계 9

$192$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 136$

단계 10

$(4, 140)$ 에서의 도함수는 $136$ 입니다.

$136$