미적분 예제

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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단계 1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

단계 1.2.3

$(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

단계 1.2.3.1.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

단계 1.2.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

단계 1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 1 - 1$

단계 1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 0$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

단계 2.2.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + 2 x^{- 3}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 2.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

단계 2.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{1} + 1$

단계 2.5.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 + 1$

단계 2.5.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $3$ 과 주어진 점 $(1, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 3 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.2

$3 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

단계 3.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 3 x - 3$

단계 4