미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 16}$ , $x = 3$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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단계 1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt{{(3)}^{2} + 16}$

단계 1.2

$\sqrt{{(3)}^{2} + 16}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \sqrt{9 + 16}$

단계 1.2.2

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$y = \sqrt{25}$

단계 1.2.3

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt{5^{2}}$

단계 1.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 5$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 5$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 16}$ 을(를) ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.7

분수를 통분합니다.

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단계 2.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [16])$

단계 2.10

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

단계 2.11

항을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 2.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.11.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.11.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.12

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{3}{{({(3)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.13

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.13.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3}{{(9 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.13.2

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{3}{25^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.13.3

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.13.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 2.13.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.13.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 2.13.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{5^{1}}$

단계 2.13.6

지수값을 계산합니다.

$\frac{3}{5}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $\frac{3}{5}$ 과 주어진 점 $(3, 5)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (5) = \frac{3}{5} \cdot (x - (3))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 5 = \frac{3}{5} \cdot (x - 3)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$\frac{3}{5} \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{3}{5} \cdot (x - 3)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 5 = \frac{3}{5} \cdot (x - 3)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 3$

단계 3.3.1.4

$\frac{3}{5}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 5 = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 3$

단계 3.3.1.5

$\frac{3}{5} \cdot - 3$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.5.1

$\frac{3}{5}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$y - 5 = \frac{3 x}{5} + \frac{3 \cdot - 3}{5}$

단계 3.3.1.5.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 5 = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5}$

단계 3.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 5 = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5} + 5$

단계 3.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.3.2.3

$5$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

단계 3.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9 + 5 \cdot 5}{5}$

단계 3.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.5.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9 + 25}{5}$

단계 3.3.2.5.2

$- 9$ 를 $25$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{16}{5}$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{16}{5}$

단계 4