미적분 예제

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

단계 1.2.2

$2 (4) + \frac{5}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = 8 + \frac{5}{4}$

단계 1.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

단계 1.2.2.3

$8$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

단계 1.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

단계 1.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{32 + 5}{4}$

단계 1.2.2.5.2

$32$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = \frac{37}{4}$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 4$ , $y = \frac{37}{4}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + \frac{5}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 + 5 (- x^{- 2})$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 - 5 x^{- 2}$

단계 2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

단계 2.5.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

단계 2.6

$x = 4$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

단계 2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{5}{16} + 2$

단계 2.7.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

단계 2.7.3

$2$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

단계 2.7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

단계 2.7.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.5.1

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 + 32}{16}$

단계 2.7.5.2

$- 5$ 를 $32$ 에 더합니다.

$\frac{27}{16}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $\frac{27}{16}$ 과 주어진 점 $(4, \frac{37}{4})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

단계 3.3.1.4

$\frac{27}{16}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

단계 3.3.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

단계 3.3.1.5.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 3.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 3.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

단계 3.3.1.6

$\frac{27}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

단계 3.3.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.7.1

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

단계 3.3.1.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{37}{4}$ 를 더합니다.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

단계 3.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

단계 3.3.2.3

$- 27$ 를 $37$ 에 더합니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

단계 3.3.2.4

$10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

단계 3.3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

단계 4