미적분 예제

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

단계 1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

단계 2

$\sum_{x = 1}^{8} 1$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 2.2

공식에 값을 대입합니다.

$(1) (8)$

단계 2.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8$

단계 3

$\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

급수에서 $- 1$ 인수분해합니다.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

단계 3.2

각 $x$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

단계 3.3

확장식을 간단히 합니다.

$- \frac{8371}{280}$

단계 4

$\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 4.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

단계 4.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

단계 4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

단계 4.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

단계 4.3.2.2

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

단계 4.3.2.3

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

단계 4.3.2.4

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

단계 4.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$36$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$\frac{612}{3}$

단계 4.3.3.2

$612$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$204$

단계 5

합계 결과를 더합니다.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$8$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

단계 6.1.2

$\frac{8}{1}$ 에 $\frac{280}{280}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

단계 6.1.3

$\frac{8}{1}$ 에 $\frac{280}{280}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

단계 6.1.4

$204$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

단계 6.1.5

$\frac{204}{1}$ 에 $\frac{280}{280}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

단계 6.1.6

$\frac{204}{1}$ 에 $\frac{280}{280}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

단계 6.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$8$ 에 $280$ 을 곱합니다.

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

단계 6.3.2

$204$ 에 $280$ 을 곱합니다.

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

단계 6.4

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$2240$ 에서 $8371$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

단계 6.4.2

$- 6131$ 를 $57120$ 에 더합니다.

$\frac{50989}{280}$