미적분 예제

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.4.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

단계 1.5.2

$12 x^{2} + 30 x + 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{2} + 30 x + 10$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

단계 3.2

$12$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

단계 3.3

$30$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

단계 4

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$300$ 를 $150$ 에 더합니다.

$f'' (5) = 450 + 10$

단계 4.2

$450$ 를 $10$ 에 더합니다.

$f'' (5) = 460$