미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 27}$ 을(를) ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

단계 1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

단계 1.10

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

단계 1.11

항을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 1.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$9$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.3

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

단계 3.6

지수값을 계산합니다.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

단계 4

$3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (3) = \frac{1}{2}$