미적분 예제

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 9 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x + 7$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $9 x + 7$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

합의 법칙에 의해 $9 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.6.1

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.6.2

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

단계 1.4.8

${(9 x + 7)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

단계 1.5.2

$36$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

단계 1.5.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

단계 1.5.4

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ 에서 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.4.1

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ 에서 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

단계 1.5.4.2

$10 {(9 x + 7)}^{4} x$ 에서 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

단계 1.5.4.3

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ 에서 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

단계 1.5.5

$18 x$ 를 $9 x$ 에 더합니다.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

단계 3

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

단계 4

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

단계 5

$36$ 를 $7$ 에 더합니다.

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

단계 6

$43$ 를 $3$ 승 합니다.

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

단계 7

$40$ 에 $79507$ 을 곱합니다.

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

단계 8

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

단계 9

$108$ 를 $7$ 에 더합니다.

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

단계 10

$3180280$ 에 $115$ 을 곱합니다.

$h' (4) = 365732200$