미적분 예제

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

단계 1.1.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

단계 1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

단계 1.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

단계 1.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

단계 1.2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} - 3 x + 3$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

단계 1.2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

단계 1.2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} - 3 x + 3$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

단계 1.2.4

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

단계 1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

단계 1.2.6

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

단계 1.2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

단계 1.2.8

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

단계 1.2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

단계 1.2.10

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

단계 1.2.11

$3$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

단계 1.2.12

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 와 $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

단계 1.2.13

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

단계 1.2.14

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 및 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.14.1

$3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 에서 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

단계 1.2.14.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.14.2.1

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 에서 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

단계 1.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

단계 1.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 에서 $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ 을 뺍니다.

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

단계 1.3.2

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.6

$- 2 x + 3$ 에 $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.7

$- 2 x + 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.8

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.9

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.10

$- (2 x) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.11

$- (2 x - 3)$ 을 $- 1 (2 x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 1.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

단계 3.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

단계 4.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

단계 4.3

$4$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

단계 4.4

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

단계 5.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

단계 5.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 3$