미적분 예제

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

단계 1

식 $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

단계 3.2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 을 $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

단계 3.2.2

$e^{- x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ 을 전개합니다.

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

단계 3.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

단계 3.4

$e^{- x} \ln (x - 0.086)$ 을 $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

단계 3.5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

단계 3.5.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

단계 3.5.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3.5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x - 0.086$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 0.086$ 로 바꿉니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.2.3

$u$ 를 모두 $x - 0.086$ 로 바꿉니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.3

합의 법칙에 의해 $x - 0.086$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ 가 됩니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.5

$- 0.086$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 0.086$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 0.086$ 입니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.7

$\frac{1}{x - 0.086}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

단계 3.5.3.8

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

단계 3.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

단계 3.5.5

$\frac{1}{x - 0.086}$ 에 $\frac{1}{e^{x}}$ 을 곱합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

단계 3.5.6

$\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

단계 3.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- e^{0}$

단계 3.7

답을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 3.7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = - 1$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선: $y = - 1$

사선점근선 없음

단계 7