미적분 예제

$16 x^{2} + 9 y^{2} - 54 y - 63 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $63$ 를 더합니다.

$16 x^{2} + 9 y^{2} - 54 y = 63$

단계 1.2

$9 y^{2} - 54 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 54$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 54$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 27}{9}$

단계 1.2.3.2.2

$- 27$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 3}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 3$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 54$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

단계 1.2.4.2.1.3

$2916$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 81$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 81$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$e = - 81$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ 에 대입합니다.

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

단계 1.3

$9 y^{2} - 54 y$ 를 $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ 로 바꿔 방정식 $16 x^{2} + 9 y^{2} - 54 y = 63$ 에 대입합니다.

$16 x^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = 63$

단계 1.4

양변에 $81$ 을 더하여 $- 81$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$16 x^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 63 + 81$

단계 1.5

$63$ 를 $81$ 에 더합니다.

$16 x^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 144$

단계 1.6

각 항을 $144$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{16 x^{2}}{144} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

단계 1.7

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 3)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

단계 5.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{16 - 9}$

단계 5.3.4

$16$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\sqrt{7}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 3 + 4)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, 7)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 3 - (4))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - 1)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 3 + \sqrt{7})$

단계 7.3

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 3 - (\sqrt{7}))$

단계 7.5

간단히 합니다.

$(0, 3 - \sqrt{7})$

단계 7.6

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \sqrt{7})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

단계 8.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

단계 8.3.4

$16$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \sqrt{7})$

이심률: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

단계 10