미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 1

식 $\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 4$

$m = 2$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.1.2

$3 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.1.3

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.1.4

$x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.1.5

$x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2

$x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.4

$x$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.5

$x$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.6

$3$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.9

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.2.12

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

단계 6.4

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

단계 6.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

단계 6.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

단계 6.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

단계 6.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

단계 6.9

피제수 $3 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

단계 6.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

단계 6.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

단계 6.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

단계 6.13

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

단계 6.14

피제수 $- \frac{x^{2}}{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

단계 6.15

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

단계 6.16

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

단계 6.17

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

단계 6.18

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

단계 6.19

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

단계 8