미적분 예제

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 1 + x$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.5

$1 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.10

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.10.2

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.12

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.1

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.12.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.12.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.12.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.4.1

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2.12.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ 을 ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = - x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $- x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

단계 2.3.7.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

단계 2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ 을 ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

단계 3.1.2.2

${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = - x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 3.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $- x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

단계 3.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

단계 3.3.7.2

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

단계 3.4.2

$12$ 와 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ 을 ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

단계 4.1.2.2

${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = - x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 4.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $- x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

단계 4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

단계 4.3.7.2

$- 1$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

단계 4.4.2

$48$ 와 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$