미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

단계 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} + x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + x \geq 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + x = 0$

단계 1.2.2

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + x = 0$

단계 1.2.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \cdot x + x = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

단계 1.2.2.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.6

$x (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1$

단계 1.2.7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

단계 1.2.8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 1.2.8.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.8.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 1.2.8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

단계 1.2.8.1.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.8.2

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.8.2.1

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.5$

단계 1.2.8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.5$ 로 치환합니다.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

단계 1.2.8.2.3

좌변 $- 0.25$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.8.3

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.8.3.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 1.2.8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

단계 1.2.8.3.3

좌변 $6$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

단계 1.2.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 1$ 또는 $x \geq 0$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

단계 2

실수가 아닌 정의역이 존재하므로 $\sqrt{x^{2} + x}$ 는 모든 실수에 대해 연속이 아닙니다.

불연속임

단계 3