미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 2}}$

단계 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{x}{x - 2} \geq 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.3

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 2$

단계 1.2.4

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 2$

단계 1.2.5

$\frac{x}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.2.5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.5.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 1.2.6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 1.2.7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 1.2.7.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.7.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.7.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{- 2}{(- 2) - 2} \geq 0$

단계 1.2.7.1.3

좌변 $0.5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.7.2

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.7.2.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 1.2.7.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{(1) - 2} \geq 0$

단계 1.2.7.2.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.7.3

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.7.3.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 1.2.7.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{4}{(4) - 2} \geq 0$

단계 1.2.7.3.3

좌변 $2$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.7.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 참

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < 0$ 참

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 1.2.8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq 0$ 또는 $x > 2$

단계 1.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq 0, x > 2}$

구간 표기:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq 0, x > 2}$

단계 2

실수가 아닌 정의역이 존재하므로 $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ 는 모든 실수에 대해 연속이 아닙니다.

불연속임

단계 3