미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x^{2} + 25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- x^{2} + 25 = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 25$

단계 2.3.2

$- x^{2} = - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- x^{2} = - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

단계 2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

단계 2.3.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

단계 2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.3.1

$- 25$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 25$

단계 2.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{25}$

단계 2.3.4

$\pm \sqrt{25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

단계 2.3.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 5$

단계 2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 5$

단계 2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 5$

단계 2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 5$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x}{x^{2} + 25}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{5}{25 + 25}$

단계 4.1.2.1.2

$25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{5}{50}$

단계 4.1.2.2

$5$ 및 $50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (1)}{50}$

단계 4.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.2.1

$50$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

단계 4.1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

단계 4.1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{10}$

단계 4.2

$x = - 5$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- 5$ 를 대입합니다.

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 5}{25 + 25}$

단계 4.2.2.1.2

$25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{- 5}{50}$

단계 4.2.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$- 5$ 및 $50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1.1

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 1)}{50}$

단계 4.2.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1.2.1

$50$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

단계 4.2.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

단계 4.2.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{10}$

단계 4.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{10}$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(5, \frac{1}{10}), (- 5, - \frac{1}{10})$

단계 5