미적분 예제

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 11$ , $g (x) = 2 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 11] - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 9 x + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.5

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.7

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.8

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.9

$10 x - 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.10

합의 법칙에 의해 $2 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.11

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.13

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.14

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.15

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.15.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 4) (10 x - 9)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.3

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.4

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.5

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.1.6

$4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2.2

$- 18 x$ 를 $40 x$ 에 더합니다.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.3

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.4

$- 9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.5

$- 2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$20 x^{2}$ 에서 $10 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.3

$22 x$ 를 $18 x$ 에 더합니다.

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.4

$- 36$ 에서 $22$ 을 뺍니다.

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3

$10 x^{2} + 40 x - 58$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$10 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.2

$40 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.3

$- 58$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.4

$2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.5

$2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$2 x + 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.3

$2 x + 2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

단계 3.3.4.2

$2 (x + 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 3.3.4.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

단계 3.3.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$4 {(x + 2)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

단계 3.3.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

단계 3.3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$