미적분 예제

$x \sin (y) + y \sin (x) = 6$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (6)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x \sin (y) + y \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.2.5

$\sin (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = y$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

단계 3

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y \cos (x)$ 를 뺍니다.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $\sin (y)$ 를 뺍니다.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

단계 5.3

$x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$x y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

단계 5.3.2

$y' \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

단계 5.3.3

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

단계 5.4

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ 의 각 항을 $x \cos (y) + \sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ 의 각 항을 $x \cos (y) + \sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$x \cos (y) + \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2.2

$- y \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2.3

$- \sin (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2.4

$- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.2.5.1

$- (y \cos (x) + \sin (y))$ 을 $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 5.4.3.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$