미적분 예제

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t^{2} + 9} - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t^{2} + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t^{2} + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.1.3

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.1.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $t^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.1.5

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.1.6

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.2

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{0^{2} + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.2.3.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $t^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{2}}$

단계 1.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{2} + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{2} + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{t^{2} + 9} - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{2} + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{2} + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{2} + 9}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t^{2} + 9}$ 을(를) ${(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $t^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.3

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 t + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.5

$9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 t + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.11

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.13

$2$ 와 $\frac{{(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 {(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.14

$\frac{2 {(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 {(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.16

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.3.17

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.4

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.5

$\frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

단계 1.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 t}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{{(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 t}$

단계 1.5

${(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{t^{2} + 9}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 9}} \cdot \frac{1}{2 t}$

단계 1.6

$\frac{t}{\sqrt{t^{2} + 9}}$ 에 $\frac{1}{2 t}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 9} (2 t)}$

단계 1.7

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 9} (2 t)}$

단계 1.7.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 9} \cdot (2)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 9}}$

단계 2.2

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{t^{2} + 9}}$

단계 2.3

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{t^{2} + 9}}$

단계 2.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} t^{2} + 9}}$

단계 2.5

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} 9}}$

단계 2.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $t^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} 9}}$

단계 2.7

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + 9}}$

단계 3

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0^{2} + 9}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

조합합니다.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{0^{2} + 9}}$

단계 4.2

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{0^{2} + 9}}$

단계 4.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 9}}$

단계 4.3.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{9}}$

단계 4.3.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{3^{2}}}$

단계 4.3.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

단계 4.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{6}$

소수 형태:

$0.1\overline{6}$