미적분 예제

$2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 1.1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 1.1.3.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 1.1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 1.1.3.9

$3$ 와 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

단계 1.1.3.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 1.1.3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.12

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.13

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.13.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

단계 1.1.3.13.2

공약수로 약분합니다.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

단계 2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

단계 2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.4

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 의 각 항에 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 의 각 항에 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

단계 2.5.2

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

단계 2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

단계 2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$2$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

단계 2.5.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $3$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.2

간단히 합니다.

$x = {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{x} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x = 0^{3}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x = 0$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.1.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.1.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

단계 4.1.2.1.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 + 3 \cdot 1$

단계 4.1.2.1.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 3$

단계 4.1.2.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$2 (0) + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.1.2

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.2.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.2.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$0 + 3 \cdot 0^{2}$

단계 4.2.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 3 \cdot 0$

단계 4.2.2.1.6

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 1, 1), (0, 0)$

단계 5