미적분 예제

$\int \ln (x^{2} + 16) d x$

단계 1

$u = \ln (x^{2} + 16)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 16} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 와 $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ 을 묶습니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 16} d x$

단계 2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 16} d x$

단계 2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 16} d x$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 16} d x$

단계 2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 16} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 16} d x)$

단계 4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 16} d x$

단계 5

$x^{2}$ 을 $x^{2} + 16$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$16$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + 16$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$16$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$16$
									-	$16$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 \int 1 - \frac{16}{x^{2} + 16} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (\int d x + \int - \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C + \int - \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - \int \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

단계 9

$16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - (16 \int \frac{1}{x^{2} + 16} d x))$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{x^{2} + 16} d x)$

단계 10.2

$x^{2}$ 와 $16$ 을 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{16 + x^{2}} d x)$

단계 10.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x)$

단계 11

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4}) + C$ 입니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 (\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4}) + C))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\arctan (\frac{x}{4})$ 을 묶습니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4} + C))$

단계 12.2

간단히 합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x - 4 \arctan (\frac{x}{4})) + C$

단계 12.3

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x - 4 \arctan (\frac{1}{4} x)) + C$