미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\tan (x)}^{\cos (x)}$ 을 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

단계 1.2

$\cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

단계 2

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

단계 3

좌극한 값을 계산합니다.

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단계 3.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

단계 3.2

$\cos (x) \ln (\tan (x))$ 을 $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

단계 3.3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

단계 3.3.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

단계 3.3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 3.3.1.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

단계 3.3.1.3.2

$x$ 값이 왼쪽에서 $\frac{π}{2}$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.3.1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

단계 3.3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.5

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.6

간단히 합니다.

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단계 3.3.3.6.1

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.6.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.7

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9

간단히 합니다.

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단계 3.3.3.9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.9.1.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.1.3

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.9.1.3.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.2

항을 묶습니다.

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단계 3.3.3.9.2.1

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.9.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

단계 3.3.3.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\cos^{- 1} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

단계 3.3.3.11

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.11.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

단계 3.3.3.11.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

단계 3.3.3.11.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

단계 3.3.3.12

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

단계 3.3.3.13

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

단계 3.3.3.14

$\cos^{- 2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

단계 3.3.3.15

간단히 합니다.

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단계 3.3.3.15.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

단계 3.3.3.15.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 3.3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.3.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 3.3.5.1

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ 에 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

단계 3.3.5.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

단계 3.3.5.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

단계 3.3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

단계 3.3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

단계 3.3.6

$\cos^{2} (x)$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

단계 3.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.2.1

$\cos (x) \sin^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

단계 3.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

단계 3.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

단계 3.3.7

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 3.3.8

분수를 나눕니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.3.9

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

단계 3.3.10

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

단계 3.4

극한값을 계산합니다.

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단계 3.4.1

$x$ 가 $\frac{π}{2}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

단계 3.4.2

코시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 옮깁니다.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

단계 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

단계 3.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.5.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

단계 3.5.2

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

단계 3.6

답을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

단계 3.6.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

단계 3.6.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{0}$

단계 3.7

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

단계 5

변수에 값을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

단계 5.2

$\tan (\frac{π}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

단계 5.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

단계 5.4

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ 이(가) 정의되지 않았으므로 극한이 없습니다.

$존재하지 않음$

단계 6

단측 극한 중 하나가 존재하지 않으면 극한이 존재하지 않습니다.

$존재하지 않음$