미적분 예제

$f (x) = {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

단계 1

$f (x) = {(2 x - 9)}^{4}$ , $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 9)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{2} + x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2} + x + 1$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 9)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 9)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2} + x + 1$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 9)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

${(2 x - 9)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 3.6

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

단계 4

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x - 9$ 로 바꿉니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

단계 4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x - 9$ 로 바꿉니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 5.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 5.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 5.6

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + 0)$

단계 5.7

식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \cdot 2$

단계 5.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ 에서 ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1.1

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ 에서 ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

단계 6.1.2

$8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ 에서 ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

단계 6.1.3

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ 에서 ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

단계 6.2

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ 인수를 다시 정렬합니다.

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 9)}^{3} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$