미적분 예제

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$θ$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.2

$θ$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.3

$θ$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.4

$θ$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.5

$θ$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.6

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.1.7

$θ$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{1}{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.2

$θ$ 에 $0$ 을 대입하여 $θ$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.3.1.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.3.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.2.3.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

단계 1.1.3.2

$θ$ 에 $0$ 을 대입하여 $θ$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 1.1.3.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ 을 ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.2

$f (θ) = θ^{- 1}$ , $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 + \sin (θ)$ 로 바꿉니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 + \sin (θ)$ 로 바꿉니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.3

합의 법칙에 의해 $2 + \sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 가 됩니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.4

$2$ 이 $θ$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.5

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.3.6

$0$ 를 $\cos (θ)$ 에 더합니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.4

$- \frac{1}{2}$ 이 $θ$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{1}{2}$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.5.2

항을 묶습니다.

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단계 1.3.5.2.1

$\cos (θ)$ 와 $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.5.2.2

$- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

단계 1.3.6

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

단계 1.5

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 에 $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 1.6

$\cos (θ)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$- 1$ 항은 $θ$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.2

$θ$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.3

$θ$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.5

$θ$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.6

$θ$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

단계 2.7

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

단계 3

$θ$ 에 $0$ 을 대입하여 $θ$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

단계 4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2^{2}}$

단계 4.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{4}$

소수 형태:

$- 0.25$