미적분 예제

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

단계 2

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

단계 3

$π$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

단계 4

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

단계 5

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

단계 6.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$π$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

단계 7.2

$\tan (\frac{π}{8})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

단계 7.2.2

탄젠트 반각공식을 적용합니다.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

단계 7.2.3

탄젠트는 제1사분면에서 양수이므로 $\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

단계 7.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

단계 7.2.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

단계 7.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

단계 7.2.4.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

단계 7.2.4.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

단계 7.2.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

단계 7.2.4.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

단계 7.2.4.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.8.1

공약수로 약분합니다.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

단계 7.2.4.8.2

수식을 다시 씁니다.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

단계 7.2.4.9

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 에 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

단계 7.2.4.10

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 에 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

단계 7.2.4.11

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

단계 7.2.4.12

간단히 합니다.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.13

분배 법칙을 적용합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.14.1

공약수로 약분합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.14.2

수식을 다시 씁니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.15

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 와 $\sqrt{2}$ 을 묶습니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.16

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

단계 7.2.4.16.2

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.2.1

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

단계 7.2.4.16.2.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

단계 7.2.4.16.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

단계 7.2.4.16.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.1.5

지수값을 계산합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 7.2.4.16.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

단계 7.2.4.16.4

$2 \sqrt{2} - 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.4.1

$2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

단계 7.2.4.16.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

단계 7.2.4.16.4.3

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

단계 7.2.4.16.4.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.16.4.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

단계 7.2.4.16.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

단계 7.2.4.16.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

단계 7.2.4.16.4.4.4

$\sqrt{2} - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

단계 7.2.4.16.5

분배 법칙을 적용합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

단계 7.2.4.16.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

단계 7.2.4.17

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

단계 7.2.4.18

$- \sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

소수 형태:

$3.31370849 \dots$