미적분 예제

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = y^{2}$ , $g (x) = y^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.6

$2 y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.7

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.7.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.8

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.8.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.9

$y^{2} - 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.10

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

단계 2.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

단계 2.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

단계 2.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

단계 2.11.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.4.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

단계 2.11.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

단계 2.11.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

단계 2.11.4.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

단계 2.11.4.5

$y^{3} (2 y')$ 를 $2 y^{3} y'$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.4.5.1

$y^{3}$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

단계 2.11.4.5.2

$2 \cdot y^{3} y'$ 를 $2 y^{3} y'$ 에 더합니다.

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

단계 3.6

$x^{2} - 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

단계 3.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

단계 3.7.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

단계 3.7.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

단계 3.7.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

단계 3.7.3.4

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

단계 3.7.3.5

$2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 10 x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4 y^{3} y' - 8 y y'$ 에서 $4 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$4 y^{3} y'$ 에서 $4 y y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

단계 5.1.2

$- 8 y y'$ 에서 $4 y y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

단계 5.1.3

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ 에서 $4 y y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

단계 5.2

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ 의 각 항을 $4 y (y^{2} - 2)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ 의 각 항을 $4 y (y^{2} - 2)$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2.3

$y^{2} - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.3.1.2

$- 10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$- 10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.2.1

$4 y (y^{2} - 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

단계 5.2.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

단계 5.2.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

단계 5.2.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$