미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} - x}}{x^{3} + 9}$

단계 1

$9 x^{6} - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$9 x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) - x}}{x^{3} + 9}$

단계 1.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 9}$

단계 1.3

$x (9 x^{5}) + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 9}$

단계 2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 3

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 4

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

$x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 5.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 6

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x^{5}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.1.2

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.2

$x^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 7.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{5}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

단계 9.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

단계 9.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

단계 9.4

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 10

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11

답을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$9 - 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\sqrt{9 - 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11.2.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{9}}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11.2.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{1 + 9 \cdot 0}$

단계 11.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{1 + 0}$

단계 11.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{1}$

단계 11.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3$