미적분 예제

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

단계 1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.2

$x^{2} + 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.1.6.3.2.2

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.1.2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.3.3

${(x^{2} + 3)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.2

${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 에서 $x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.2.1

${(x^{2} + 3)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 에서 $x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.2.3

$(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ 에서 $x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

단계 2.1.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

${(x^{2} + 3)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.16

$6$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.17.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.17.2.1

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.2.17.2.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

단계 2.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

방정식의 양변에서 $18$ 를 뺍니다.

$- 18 x^{2} = - 18$

단계 2.2.3.2

$- 18 x^{2} = - 18$ 의 각 항을 $- 18$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$- 18 x^{2} = - 18$ 의 각 항을 $- 18$ 로 나눕니다.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

단계 2.2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.1

$- 18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

단계 2.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

단계 2.2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.3.1

$- 18$ 을 $- 18$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.2.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.2.3.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 3 = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 3$

단계 3.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

단계 3.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

단계 3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

단계 3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{3}$

단계 3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{3}$

단계 3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{3}$

단계 3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

단계 3.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 5.2.1.2

$- 18$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 5.2.1.3

$- 288$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

단계 5.2.2.2

$16$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

단계 5.2.2.3

$19$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

단계 5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \frac{270}{6859}$ 입니다.

$- \frac{270}{6859}$

단계 5.3

$f'' (- 4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.2.1.2

$- 18$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.2.1.3

$0$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

단계 6.2.2.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

단계 6.2.2.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

단계 6.2.3

$18$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

단계 6.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

단계 6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

단계 6.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

단계 6.2.4

최종 답은 $\frac{2}{3}$ 입니다.

$\frac{2}{3}$

단계 6.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 1, 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 위로 오목함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

단계 7.2.1.2

$- 18$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

단계 7.2.1.3

$- 288$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

단계 7.2.2.2

$16$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

단계 7.2.2.3

$19$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

단계 7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

단계 7.2.4

최종 답은 $- \frac{270}{6859}$ 입니다.

$- \frac{270}{6859}$

단계 7.3

$f'' (4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 9