미적분 예제

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [- 144 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$- 144$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 144 x$ 의 미분은 $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.5.3

$- 144$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

단계 1.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.6.1

$288$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $288$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $288$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

단계 1.6.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 96$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 96 x$ 의 미분은 $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.4.3

$- 96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$- 144$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 144$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

단계 2.5.2

$36 x^{2} + 24 x - 96$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.4.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.4.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.5

$\frac{d}{d x} [- 144 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.5.1

$- 144$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 144 x$ 의 미분은 $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.5.3

$- 144$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

단계 4.1.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.6.1

$288$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $288$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $288$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

단계 4.1.6.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 입니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$12 x^{3}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

단계 5.2.1.2

$12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

단계 5.2.1.3

$- 96 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

단계 5.2.1.4

$- 144$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

단계 5.2.1.5

$12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

단계 5.2.1.6

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

단계 5.2.1.7

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

단계 5.2.2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 5.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

단계 5.2.2.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 5.2.2.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

단계 5.2.2.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

단계 5.2.2.3.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

단계 5.2.2.3.4

$- 8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

단계 5.2.2.3.5

$- 8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 + 16 - 12$

단계 5.2.2.3.6

$- 4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$12 - 12$

단계 5.2.2.3.7

$12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5.2.2.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

단계 5.2.2.5

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

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단계 5.2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

단계 5.2.2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

단계 5.2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 5.2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 5.2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

단계 5.2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

단계 5.2.2.5.7

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

단계 5.2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

단계 5.2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 5.2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

단계 5.2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

단계 5.2.2.5.12

피제수 $- 6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

단계 5.2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

단계 5.2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x - 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

단계 5.2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

단계 5.2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - x - 6$

단계 5.2.2.6

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

단계 5.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 5.2.3.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

단계 5.2.3.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

단계 5.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

단계 5.2.4

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

단계 5.2.4.2

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

단계 5.2.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

단계 5.2.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

단계 5.4

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 5.4.2

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 5.4.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 5.6

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 3$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 2, 3$

단계 8

$x = - 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

단계 9.1.2

$36$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$144 + 24 (- 2) - 96$

단계 9.1.3

$24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$144 - 48 - 96$

단계 9.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$144$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$96 - 96$

단계 9.2.2

$96$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 의 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

단계 10.2.2.1.2

$12$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

단계 10.2.2.1.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

단계 10.2.2.1.4

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

단계 10.2.2.1.5

$- 96$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

단계 10.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$- 768$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

단계 10.2.2.2.2

$- 576$ 를 $384$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - 192 - 144$

단계 10.2.2.2.3

$- 192$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (- 4) = - 336$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $- 336$ 입니다.

$- 336$

단계 10.3

1차 도함수 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 의 $(- 2, 3)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

단계 10.3.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

단계 10.3.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

단계 10.3.2.1.4

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

단계 10.3.2.1.5

$- 96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

단계 10.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

단계 10.3.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 - 144$

단계 10.3.2.2.3

$0$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 144$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $- 144$ 입니다.

$- 144$

단계 10.4

1차 도함수 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 의 $(3, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

단계 10.4.2.1.2

$12$ 에 $216$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

단계 10.4.2.1.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

단계 10.4.2.1.4

$12$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

단계 10.4.2.1.5

$- 96$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

단계 10.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.2.1

$2592$ 를 $432$ 에 더합니다.

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

단계 10.4.2.2.2

$3024$ 에서 $576$ 을 뺍니다.

$f' (6) = 2448 - 144$

단계 10.4.2.2.3

$2448$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (6) = 2304$

단계 10.4.2.3

최종 답은 $2304$ 입니다.

$2304$

단계 10.5

1차 도함수의 부호가 $x = - 2$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.6

1차 도함수의 부호가 $x = 3$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 3$ 은 극솟값입니다.

$x = 3$ 은 극소값입니다.

단계 11