미적분 예제

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 1.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

단계 1.3.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (2 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

단계 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

단계 2.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.3.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 4.4

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

단계 5

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 5.1

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 2 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

단계 5.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

단계 5.1.3

$- 4 \sin^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 5.1.4

$2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 5.1.5

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

단계 5.2

인수분해합니다.

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단계 5.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 5.2.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$- \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.2.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.2.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

단계 5.2.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

단계 5.2.1.4

최대공약수 $- 2 \sin (x) + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

단계 5.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

단계 6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

단계 7

$- 2 \sin (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 2 \sin (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

단계 7.2

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 \sin (x) = - 1$

단계 7.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 7.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

단계 7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

단계 7.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 7.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$x = \frac{π}{6}$

단계 7.2.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{6}$

단계 7.2.6

$π - \frac{π}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 7.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.2.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 7.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 7.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

단계 7.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{6}$

단계 7.2.7

방정식 $x = \frac{π}{6}$ 의 해.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

단계 8

$\sin (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\sin (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) + 1 = 0$

단계 8.2

$\sin (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\sin (x) = - 1$

단계 8.2.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- 1)$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{2}$

단계 8.2.4

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 8.2.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 8.2.5.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 8.2.6

방정식 $x = - \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 9

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 10

$x = \frac{π}{6}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11.1.3

$- 1 \sqrt{3}$ 을 $- \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 11.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

단계 11.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

단계 11.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

단계 11.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 11.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.6.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 11.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 11.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

단계 11.2

$- \sqrt{3}$ 에서 $2 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$- 3 \sqrt{3}$

단계 12

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{6}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{6}$ 은 극대값입니다

단계 13

$x = \frac{π}{6}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{6}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 13.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 13.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

단계 13.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.3.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

단계 13.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

단계 13.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

단계 13.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\sqrt{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.4.1

$\sqrt{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.4.2

$2 \sqrt{3}$ 를 $\sqrt{3}$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 13.2.5

최종 답은 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 14

$x = \frac{5 π}{6}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.5

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 15.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.6.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

단계 15.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

단계 15.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

단계 15.1.7

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

단계 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 15.1.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.9.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 15.1.9.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 15.1.9.3

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 15.1.9.4

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

단계 15.1.10

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

단계 15.2

$\sqrt{3}$ 를 $2 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$3 \sqrt{3}$

단계 16

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{5 π}{6}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{6}$ 은 극소값입니다.

단계 17

$x = \frac{5 π}{6}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{6}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

단계 17.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

단계 17.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

단계 17.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

단계 17.2.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

단계 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sqrt{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.4.2

$- 2 \sqrt{3}$ 에서 $\sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 17.2.6

최종 답은 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 18

$x = - \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

단계 19

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

단계 19.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

단계 19.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

단계 19.1.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

단계 19.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.5.1

$- \frac{π}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

단계 19.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

단계 19.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$0 - 4 \sin (- π)$

단계 19.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$0 - 4 \sin (0)$

단계 19.1.7

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 - 4 \cdot 0$

단계 19.1.8

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 19.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 20

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

단계 20.2

1차 도함수 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 의 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

단계 20.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.2.1.1

$\sin (- 4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

단계 20.2.2.1.2

$- 2$ 에 $0.75680249$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

단계 20.2.2.1.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

단계 20.2.2.1.4

$\cos (- 8)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

단계 20.2.2.1.5

$2$ 에 $- 0.14550003$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

단계 20.2.2.2

$- 1.51360499$ 에서 $0.29100006$ 을 뺍니다.

$f' (- 4) = - 1.80460505$

단계 20.2.2.3

최종 답은 $- 1.80460505$ 입니다.

$- 1.80460505$

단계 20.3

1차 도함수 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 의 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

단계 20.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

단계 20.3.2.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

단계 20.3.2.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

단계 20.3.2.1.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

단계 20.3.2.1.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 2$

단계 20.3.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (0) = 2$

단계 20.3.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 20.4

1차 도함수 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 의 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

단계 20.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.2.1.1

$\sin (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

단계 20.4.2.1.2

$- 2$ 에 $0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

단계 20.4.2.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

단계 20.4.2.1.4

$\cos (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

단계 20.4.2.1.5

$2$ 에 $- 0.65364362$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

단계 20.4.2.2

$- 1.81859485$ 에서 $1.30728724$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - 3.12588209$

단계 20.4.2.3

최종 답은 $- 3.12588209$ 입니다.

$- 3.12588209$

단계 20.5

1차 도함수 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 의 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

단계 20.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.5.2.1.1

$\sin (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

단계 20.5.2.1.2

$- 2$ 에 $- 0.75680249$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

단계 20.5.2.1.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

단계 20.5.2.1.4

$\cos (8)$ 의 값을 구합니다.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

단계 20.5.2.1.5

$2$ 에 $- 0.14550003$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

단계 20.5.2.2

$1.51360499$ 에서 $0.29100006$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 1.22260492$

단계 20.5.2.3

최종 답은 $1.22260492$ 입니다.

$1.22260492$

단계 20.6

1차 도함수 $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ 의 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 구간에서 $7$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

단계 20.6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.6.2.1.1

$\sin (7)$ 의 값을 구합니다.

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

단계 20.6.2.1.2

$- 2$ 에 $0.65698659$ 을 곱합니다.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

단계 20.6.2.1.3

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

단계 20.6.2.1.4

$\cos (14)$ 의 값을 구합니다.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

단계 20.6.2.1.5

$2$ 에 $0.13673721$ 을 곱합니다.

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

단계 20.6.2.2

$- 1.31397319$ 를 $0.27347443$ 에 더합니다.

$f' (7) = - 1.04049876$

단계 20.6.2.3

최종 답은 $- 1.04049876$ 입니다.

$- 1.04049876$

단계 20.7

1차 도함수의 부호가 $x = - \frac{π}{2}$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - \frac{π}{2}$ 은 극솟값입니다.

$x = - \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 20.8

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{π}{6}$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = \frac{π}{6}$ 은 극댓값입니다.

$x = \frac{π}{6}$ 은 극대값입니다

단계 20.9

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{5 π}{6}$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = \frac{5 π}{6}$ 은 극솟값입니다.

$x = \frac{5 π}{6}$ 은 극소값입니다.

단계 20.10

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{3 π}{2}$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = \frac{3 π}{2}$ 은 극댓값입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 20.11

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ 에 대한 극값입니다.

$x = - \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

$x = \frac{π}{6}$ 은 극대값입니다

$x = \frac{5 π}{6}$ 은 극소값입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극대값입니다

$x = - \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

$x = \frac{π}{6}$ 은 극대값입니다

$x = \frac{5 π}{6}$ 은 극소값입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 21