미적분 예제

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x - \frac{32}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{32}{x}$ 의 미분은 $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 - 32 (- x^{- 2})$

단계 1.3.4

$- 1$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$2 + 32 x^{- 2}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.4.2

$32$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

단계 1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{32}{x^{2}} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{32}{x^{2}}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.2.10

$- 2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

단계 2.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 64$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2.3

$- \frac{64}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6