미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{6}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

단계 1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

단계 1.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 1.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

단계 1.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

단계 1.3.10

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$4 x + 12 x^{- 3}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.4.2

$12$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

단계 2.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{12}{x^{3}}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

단계 2.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

단계 2.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

단계 2.3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

단계 2.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

단계 2.3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

단계 2.3.8

$- 3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

단계 2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 36$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

단계 2.5.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6