미적분 예제

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$4 + \frac{1}{x}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x} + 4$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

단계 2.4.2

$- \frac{1}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6