미적분 예제

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 x^{4}$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x^{3}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.4.3

$3$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x^{2}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

단계 1.5.3

$2$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x^{4}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.2.3

$4$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 60 x^{3}$ 의 미분은 $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 30 x^{2}$ 의 미분은 $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $- 30$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [60 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 x$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \cdot 1$

단계 2.5.3

$60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.2.3

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 x^{4}$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.3.3

$4$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.4.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x^{3}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.4.3

$3$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

단계 4.1.5

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.5.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x^{2}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

단계 4.1.5.3

$2$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ 입니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$30 x^{4}$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3}) - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

단계 5.2.1.2

$- 60 x^{3}$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) - 30 x^{2} + 60 x = 0$

단계 5.2.1.3

$- 30 x^{2}$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 60 x = 0$

단계 5.2.1.4

$60 x$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

단계 5.2.1.5

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2})$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

단계 5.2.1.6

$30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x)$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2) = 0$

단계 5.2.1.7

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2)$ 에서 $30 x$ 를 인수분해합니다.

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

단계 5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$30 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

단계 5.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$30 x (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

단계 5.2.3

최대공약수 $x - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

단계 5.2.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

단계 5.2.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

인수분해합니다.

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단계 5.2.5.1.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$30 x ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

단계 5.2.5.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$30 x ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 5.2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5.6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5.7

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.7.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.8

$30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2, - 1, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 2, - 1, 1$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$120 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$120 \cdot 0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

단계 9.1.2

$120$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 180 \cdot 0 - 60 \cdot 0 + 60$

단계 9.1.4

$- 180$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 - 60 \cdot 0 + 60$

단계 9.1.5

$- 60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 + 60$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0 + 60$

단계 9.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 60$

단계 9.2.3

$0$ 를 $60$ 에 더합니다.

$60$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 6 {(0)}^{5} - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 6 \cdot 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 15 \cdot 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.4

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.6

$- 10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 {(0)}^{2}$

단계 11.2.1.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 \cdot 0$

단계 11.2.1.8

$30$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0$

단계 11.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0$

단계 11.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 11.2.2.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 11.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 12

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$120 {(2)}^{3} - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$120 \cdot 8 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

단계 13.1.2

$120$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$960 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

단계 13.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$960 - 180 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 60$

단계 13.1.4

$- 180$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$960 - 720 - 60 \cdot 2 + 60$

단계 13.1.5

$- 60$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$960 - 720 - 120 + 60$

단계 13.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$960$ 에서 $720$ 을 뺍니다.

$240 - 120 + 60$

단계 13.2.2

$240$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$120 + 60$

단계 13.2.3

$120$ 를 $60$ 에 더합니다.

$180$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 2$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 6 {(2)}^{5} - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (2) = 6 \cdot 32 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.2

$6$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f (2) = 192 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 192 - 15 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.4

$- 15$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (2) = 192 - 240 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 192 - 240 - 10 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.6

$- 10$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 {(2)}^{2}$

단계 15.2.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 \cdot 4$

단계 15.2.1.8

$30$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 120$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$192$ 에서 $240$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 48 - 80 + 120$

단계 15.2.2.2

$- 48$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 128 + 120$

단계 15.2.2.3

$- 128$ 를 $120$ 에 더합니다.

$f (2) = - 8$

단계 15.2.3

최종 답은 $- 8$ 입니다.

$y = - 8$

단계 16

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$120 {(- 1)}^{3} - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$120 \cdot - 1 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

단계 17.1.2

$120$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 120 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

단계 17.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot - 1 + 60$

단계 17.1.4

$- 180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 120 - 180 - 60 \cdot - 1 + 60$

단계 17.1.5

$- 60$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 120 - 180 + 60 + 60$

단계 17.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$- 120$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$- 300 + 60 + 60$

단계 17.2.2

$- 300$ 를 $60$ 에 더합니다.

$- 240 + 60$

단계 17.2.3

$- 240$ 를 $60$ 에 더합니다.

$- 180$

단계 18

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 19

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 1) = 6 \cdot - 1 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.3

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.4

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.5

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.6

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 {(- 1)}^{2}$

단계 19.2.1.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 \cdot 1$

단계 19.2.1.8

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30$

단계 19.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1

$- 6$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 21 + 10 + 30$

단계 19.2.2.2

$- 21$ 를 $10$ 에 더합니다.

$f (- 1) = - 11 + 30$

단계 19.2.2.3

$- 11$ 를 $30$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 19$

단계 19.2.3

최종 답은 $19$ 입니다.

$y = 19$

단계 20

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$120 {(1)}^{3} - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

단계 21

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$120 \cdot 1 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

단계 21.1.2

$120$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$120 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

단계 21.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot 1 + 60$

단계 21.1.4

$- 180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$120 - 180 - 60 \cdot 1 + 60$

단계 21.1.5

$- 60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$120 - 180 - 60 + 60$

단계 21.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1

$120$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$- 60 - 60 + 60$

단계 21.2.2

$- 60$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$- 120 + 60$

단계 21.2.3

$- 120$ 를 $60$ 에 더합니다.

$- 60$

단계 22

이계도함수가 음수이므로 $x = 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극대값입니다

단계 23

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 6 {(1)}^{5} - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 6 \cdot 1 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 6 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.4

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 6 - 15 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 6 - 15 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.6

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 {(1)}^{2}$

단계 23.2.1.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 \cdot 1$

단계 23.2.1.8

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30$

단계 23.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.2.1

$6$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 9 - 10 + 30$

단계 23.2.2.2

$- 9$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 19 + 30$

단계 23.2.2.3

$- 19$ 를 $30$ 에 더합니다.

$f (1) = 11$

단계 23.2.3

최종 답은 $11$ 입니다.

$y = 11$

단계 24

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극솟값임

$(2, - 8)$ 은 극솟값임

$(- 1, 19)$ 은 극댓값임

$(1, 11)$ 은 극댓값임

단계 25