미적분 예제

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $5 x + \cos (2 x + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.3.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

단계 1.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

단계 1.3.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

단계 1.3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

단계 2.1.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (2 x + 1)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

단계 2.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

단계 2.2.3

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

단계 2.2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

단계 2.2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

단계 2.2.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

단계 2.2.8

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

단계 2.2.9

$\cos (2 x + 1)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

단계 2.2.10

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

단계 2.3

$0$ 에서 $4 \cos (2 x + 1)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

단계 5

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.2.1.2

$\sin (2 x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

단계 6

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $\frac{5}{2}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 7

$x =$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 \cos (2 + 1)$

단계 8

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 \cos (3)$

단계 8.2

$\cos (3)$ 의 값을 구합니다.

$- 4 \cdot 0.99862953$

단계 8.3

$- 4$ 에 $0.99862953$ 을 곱합니다.

$- 3.99451813$

단계 9

이계도함수가 음수이므로 $x =$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x =$ 은 극대값입니다

단계 10

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ 에 대한 극값입니다.

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ 은 극댓값임

단계 11