미적분 예제

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 1.5

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

단계 2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

단계 2.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

단계 2.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

단계 2.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

단계 2.13.2

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

단계 5

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 5.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 5.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 5.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 5.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.2.5

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 6

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 6.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 6.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 6.2.5

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 7

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

단계 8

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.3

$- 10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

단계 9.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 + 10 \cdot 1$

단계 9.1.6

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 10$

단계 9.2

$0$ 를 $10$ 에 더합니다.

$10$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

단계 11.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

단계 11.2.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 0$

단계 11.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 12

$x = \frac{3 π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.4

$- 10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

단계 13.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

단계 13.1.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

단계 13.1.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$0 + 10 \cdot 1$

단계 13.1.9

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 10$

단계 13.2

$0$ 를 $10$ 에 더합니다.

$10$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = \frac{3 π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

단계 15.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

단계 15.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

단계 15.2.4

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

단계 15.2.5

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 16

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

단계 17.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

단계 17.1.3

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

단계 17.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

단계 17.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 10 + 10 \cdot 0$

단계 17.1.6

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 10 + 0$

단계 17.2

$- 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 10$

단계 18

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 19

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

단계 19.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (0) = 5 \cdot 1$

단계 19.2.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 5$

단계 19.2.4

최종 답은 $5$ 입니다.

$y = 5$

단계 20

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21.1.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21.1.5

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

단계 21.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

단계 21.1.7

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

단계 21.1.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 10 + 10 \cdot 0$

단계 21.1.9

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 10 + 0$

단계 21.2

$- 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 10$

단계 22

이계도함수가 음수이므로 $x = π$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

단계 23

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

단계 23.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

단계 23.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

단계 23.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

단계 23.2.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (π) = 5 \cdot 1$

단계 23.2.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 5$

단계 23.2.6

최종 답은 $5$ 입니다.

$y = 5$

단계 24

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{2}, 0)$ 은 극솟값임

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ 은 극솟값임

$(0, 5)$ 은 극댓값임

$(π, 5)$ 은 극댓값임

단계 25