미적분 예제

$f (x) = 5 x^{2} + 8 x - 5$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 8 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$10 x + 8 + 0$

단계 1.4.2

$10 x + 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 x + 8$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $10 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (8)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

단계 2.2.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (8)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f'' (x) = 10 + 0$

단계 2.3.2

$10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 10$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$10 x + 8 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 8 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.2.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 10 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 10 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 10 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 5)$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f' (x) = 10 x + 8 + 0$

단계 4.1.4.2

$10 x + 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 10 x + 8$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $10 x + 8$ 입니다.

$10 x + 8$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $10 x + 8 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$10 x + 8 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$10 x = - 8$

단계 5.3

$10 x = - 8$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$10 x = - 8$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 8}{10}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 8}{10}$

단계 5.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 8}{10}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 8$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (- 4)}{10}$

단계 5.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

단계 5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

단계 5.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{- 4}{5}$

단계 5.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{4}{5}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - \frac{4}{5}$

단계 8

$x = - \frac{4}{5}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$10$

단계 9

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{4}{5}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{4}{5}$ 은 극소값입니다.

단계 10

$x = - \frac{4}{5}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{4}{5}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 {(- \frac{4}{5})}^{2} + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1.1

$- \frac{4}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.1.2

$\frac{4}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (1 (\frac{4^{2}}{5^{2}})) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.3

$\frac{4^{2}}{5^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (\frac{4^{2}}{5^{2}}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (\frac{16}{5^{2}}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.5

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (\frac{16}{25}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.6

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.6.1

$25$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (\frac{16}{5 (5)}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = 5 (\frac{16}{5 \cdot 5}) + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{16}{5} + 8 (- \frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.7

$8 (- \frac{4}{5})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.7.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{16}{5} - 8 (\frac{4}{5}) - 5$

단계 10.2.1.7.2

$- 8$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{16}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{5} - 5$

단계 10.2.1.7.3

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{16}{5} + \frac{- 32}{5} - 5$

단계 10.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{16}{5} - \frac{32}{5} - 5$

단계 10.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{4}{5}) = - 5 + \frac{16 - 32}{5}$

단계 10.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$16$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{4}{5}) = - 5 + \frac{- 16}{5}$

단계 10.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{4}{5}) = - 5 - \frac{16}{5}$

단계 10.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = - 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{5}$

단계 10.2.4

$- 5$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 5 \cdot 5}{5} - \frac{16}{5}$

단계 10.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 5 \cdot 5 - 16}{5}$

단계 10.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.6.1

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 25 - 16}{5}$

단계 10.2.6.2

$- 25$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 41}{5}$

단계 10.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{41}{5}$

단계 10.2.8

최종 답은 $- \frac{41}{5}$ 입니다.

$y = - \frac{41}{5}$

단계 11

$f (x) = 5 x^{2} + 8 x - 5$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{4}{5}, - \frac{41}{5})$ 은 극솟값임

단계 12