미적분 예제

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(x - 12)}^{2}$ 을 $(x - 12) (x - 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 12) (x - 12)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 12$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 1.3.1.3

$- 12$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

단계 1.3.2

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

단계 1.4

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 24 x + 144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ 가 됩니다.

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.3

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.5

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.6

$144$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $144$ 입니다.

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.7

$2 x - 24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.5.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

단계 1.5.9

$x^{2} - 24 x + 144$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

단계 1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

단계 1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.2

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.3

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 24$ 이동하기

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.4.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.5

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.6.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.6.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.6.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 1.6.4.7

$4$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 1.6.4.8

$2 x^{5}$ 를 $4 x^{5}$ 에 더합니다.

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 1.6.4.9

$- 24 x^{4}$ 에서 $96 x^{4}$ 을 뺍니다.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.2.3

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 120 x^{4}$ 의 미분은 $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.3.3

$4$ 에 $- 120$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$576$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $576 x^{3}$ 의 미분은 $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

단계 2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

단계 2.4.3

$3$ 에 $576$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${(x - 12)}^{2}$ 을 $(x - 12) (x - 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

단계 4.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 12) (x - 12)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

단계 4.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

단계 4.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 4.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 4.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 12$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

단계 4.1.3.1.3

$- 12$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

단계 4.1.3.2

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

단계 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 24 x + 144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ 가 됩니다.

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.3

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.5

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.6

$144$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $144$ 입니다.

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.7

$2 x - 24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.1.5.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

단계 4.1.5.9

$x^{2} - 24 x + 144$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

단계 4.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

단계 4.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.2

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.3

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 24$ 이동하기

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.4.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.5

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.6.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.6.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.6.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

단계 4.1.6.4.7

$4$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 4.1.6.4.8

$2 x^{5}$ 를 $4 x^{5}$ 에 더합니다.

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 4.1.6.4.9

$- 24 x^{4}$ 에서 $96 x^{4}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 입니다.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$6 x^{5}$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

단계 5.2.1.2

$- 120 x^{4}$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

단계 5.2.1.3

$576 x^{3}$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

단계 5.2.1.4

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

단계 5.2.1.5

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ 에서 $6 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 20 x + 96$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $96$ 이고 합은 $- 20$ 입니다.

$- 12, - 8$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

단계 5.4

$x^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} = 0$

단계 5.4.2

$x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x - 12$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 12 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$x = 12$

단계 5.6

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 5.7

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 12, 8$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 12, 8$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

단계 9.1.2

$30$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

단계 9.1.4

$- 480$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

단계 9.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

단계 9.1.6

$1728$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 9.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

단계 10.2.2.1.2

$6$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

단계 10.2.2.1.3

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

단계 10.2.2.1.4

$- 120$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

단계 10.2.2.1.5

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

단계 10.2.2.1.6

$576$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

단계 10.2.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$- 192$ 에서 $1920$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

단계 10.2.2.2.2

$- 2112$ 에서 $4608$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - 6720$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $- 6720$ 입니다.

$- 6720$

단계 10.3

1차 도함수 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 의 $(0, 8)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

단계 10.3.2.1.2

$6$ 에 $1024$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

단계 10.3.2.1.3

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

단계 10.3.2.1.4

$- 120$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

단계 10.3.2.1.5

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

단계 10.3.2.1.6

$576$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

단계 10.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$6144$ 에서 $30720$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - 24576 + 36864$

단계 10.3.2.2.2

$- 24576$ 를 $36864$ 에 더합니다.

$f' (4) = 12288$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $12288$ 입니다.

$12288$

단계 10.4

1차 도함수 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 의 $(8, 12)$ 구간에서 $10$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $10$ 을 대입합니다.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

$10$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

단계 10.4.2.1.2

$6$ 에 $100000$ 을 곱합니다.

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

단계 10.4.2.1.3

$10$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

단계 10.4.2.1.4

$- 120$ 에 $10000$ 을 곱합니다.

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

단계 10.4.2.1.5

$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

단계 10.4.2.1.6

$576$ 에 $1000$ 을 곱합니다.

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

단계 10.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.2.1

$600000$ 에서 $1200000$ 을 뺍니다.

$f' (10) = - 600000 + 576000$

단계 10.4.2.2.2

$- 600000$ 를 $576000$ 에 더합니다.

$f' (10) = - 24000$

단계 10.4.2.3

최종 답은 $- 24000$ 입니다.

$- 24000$

단계 10.5

1차 도함수 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ 의 $(12, \infty)$ 구간에서 $14$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $14$ 을 대입합니다.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

단계 10.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1.1

$14$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

단계 10.5.2.1.2

$6$ 에 $537824$ 을 곱합니다.

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

단계 10.5.2.1.3

$14$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

단계 10.5.2.1.4

$- 120$ 에 $38416$ 을 곱합니다.

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

단계 10.5.2.1.5

$14$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

단계 10.5.2.1.6

$576$ 에 $2744$ 을 곱합니다.

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

단계 10.5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.1

$3226944$ 에서 $4609920$ 을 뺍니다.

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

단계 10.5.2.2.2

$- 1382976$ 를 $1580544$ 에 더합니다.

$f' (14) = 197568$

단계 10.5.2.3

최종 답은 $197568$ 입니다.

$197568$

단계 10.6

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극솟값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 10.7

1차 도함수의 부호가 $x = 8$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 8$ 은 극댓값입니다.

$x = 8$ 은 극대값입니다

단계 10.8

1차 도함수의 부호가 $x = 12$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 12$ 은 극솟값입니다.

$x = 12$ 은 극소값입니다.

단계 10.9

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

$x = 8$ 은 극대값입니다

$x = 12$ 은 극소값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

$x = 8$ 은 극대값입니다

$x = 12$ 은 극소값입니다.

단계 11