미적분 예제

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.2.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

단계 1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

단계 1.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 1.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

단계 1.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

단계 1.3.10

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

단계 1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.4.3.3

$0$ 에서 $\frac{5}{x^{2}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.4.3.4

$8$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.2.10

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8}{x^{3}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

단계 2.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

단계 2.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

단계 2.3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

단계 2.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

단계 2.3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 4})$

단계 2.3.8

$- 3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} - 24 x^{- 4}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 x^{- 4}$

단계 2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 \frac{1}{x^{4}}$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$10$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

단계 2.4.3.2

$- 24$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} + \frac{- 24}{x^{4}}$

단계 2.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

단계 4.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

단계 4.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 4.1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

단계 4.1.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

단계 4.1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 4.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 4.1.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

단계 4.1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

단계 4.1.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

단계 4.1.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

단계 4.1.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

단계 4.1.3.10

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

단계 4.1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.3.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.4.3.3

$0$ 에서 $\frac{5}{x^{2}}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.4.3.4

$8$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ 입니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

단계 5.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, x^{3}, 1$

단계 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

단계 5.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 5.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 5.2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 5.2.6

$x^{2}$ 의 인수는 $x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 5.2.7

$x^{3}$ 의 인수는 $x \cdot x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $3$ 번 곱한 값입니다.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ 는 $3$ 번 나타납니다.

단계 5.2.8

$x^{2}, x^{3}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x \cdot x \cdot x$

단계 5.2.9

$x \cdot x \cdot x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} \cdot x$

단계 5.2.9.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.2.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} \cdot x^{1}$

단계 5.2.9.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 1}$

단계 5.2.9.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{3}$

단계 5.3

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

$- \frac{5}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2.1.1.2

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 5.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 5 x + 8 = 0 x^{3}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$0$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$- 5 x + 8 = 0$

단계 5.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$- 5 x = - 8$

단계 5.4.2

$- 5 x = - 8$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$- 5 x = - 8$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나눕니다.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

단계 5.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$- 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

단계 5.4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 8}{- 5}$

단계 5.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{8}{5}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{5}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8}{x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} = 0$

단계 6.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 6.4.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.4.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{8}{5}$

단계 8

$x = \frac{8}{5}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{10}{{(\frac{8}{5})}^{3}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$\frac{8}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{10}{\frac{8^{3}}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.1.2

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{10}{\frac{512}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.1.3

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{10}{\frac{512}{125}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$10 (\frac{125}{512}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (5) \frac{125}{512} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.3.2

$512$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{125}{256}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.4

$5$ 와 $\frac{125}{256}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 125}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.5

$5$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$\frac{625}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

단계 9.1.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.6.1

$\frac{8}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

단계 9.1.6.2

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{5^{4}}}$

단계 9.1.6.3

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{625}}$

단계 9.1.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{625}{256} - (24 (\frac{625}{4096}))$

단계 9.1.8

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.8.1

$24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{625}{256} - (8 (3) \frac{625}{4096})$

단계 9.1.8.2

$4096$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

단계 9.1.8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

단계 9.1.8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{625}{256} - (3 (\frac{625}{512}))$

단계 9.1.9

$3$ 와 $\frac{625}{512}$ 을 묶습니다.

$\frac{625}{256} - \frac{3 \cdot 625}{512}$

단계 9.1.10

$3$ 에 $625$ 을 곱합니다.

$\frac{625}{256} - \frac{1875}{512}$

단계 9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{625}{256}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{625}{256} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1875}{512}$

단계 9.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $512$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{625}{256}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{625 \cdot 2}{256 \cdot 2} - \frac{1875}{512}$

단계 9.3.2

$256$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{625 \cdot 2}{512} - \frac{1875}{512}$

단계 9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{625 \cdot 2 - 1875}{512}$

단계 9.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

$625$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1250 - 1875}{512}$

단계 9.5.2

$1250$ 에서 $1875$ 을 뺍니다.

$\frac{- 625}{512}$

단계 9.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{625}{512}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{8}{5}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{8}{5}$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = \frac{8}{5}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{8}{5}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5}{\frac{8}{5}} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + 5 (\frac{5}{8}) - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

단계 11.2.1.2

$5 (\frac{5}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.1

$5$ 와 $\frac{5}{8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5 \cdot 5}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

단계 11.2.1.2.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

단계 11.2.1.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.3.1

$\frac{8}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{8^{2}}{5^{2}}}$

단계 11.2.1.3.2

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{5^{2}}}$

단계 11.2.1.3.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{25}}$

단계 11.2.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{64}))$

단계 11.2.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.5.1

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 (16)}))$

단계 11.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 \cdot 16}))$

단계 11.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.2

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.3

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.4

$\frac{25}{8}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.5

$\frac{25}{8}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.6

$8 \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.2.7

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{16} - \frac{25}{16}$

단계 11.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 25 \cdot 2 - 25}{16}$

단계 11.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 50 - 25}{16}$

단계 11.2.4.2

$16$ 를 $50$ 에 더합니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{66 - 25}{16}$

단계 11.2.4.3

$66$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{41}{16}$

단계 11.2.5

최종 답은 $\frac{41}{16}$ 입니다.

$y = \frac{41}{16}$

단계 12

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{8}{5}, \frac{41}{16})$ 은 극댓값임

단계 13