미적분 예제

$- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

단계 1

$- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int - 2 x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

단계 4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

단계 5

먼저 $u = 8 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 8 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$8 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

단계 5.1.2

미분합니다.

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단계 5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $8 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 5.1.2.2

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 5.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 6.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

단계 8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

단계 10.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

단계 10.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \sqrt{u} d u$

단계 10.1.3

$\int \sqrt{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{u} d u$

단계 10.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $8 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$