미적분 예제

$f (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 100$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 100$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 21 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 21$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 21 x$ 의 미분은 $- 21 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.4.3

$- 21$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 + \frac{d}{d x} [100]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$100$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $100$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $100$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 + 0$

단계 1.5.2

$- 3 x^{2} + 24 x - 21$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 24 x - 21$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.3.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 24 + \frac{d}{d x} (- 21)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 21$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 21$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 21$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 24 + 0$

단계 2.4.2

$- 6 x + 24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 24$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 21 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 21$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 21 x$ 의 미분은 $- 21 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.4.3

$- 21$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 + \frac{d}{d x} [100]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$100$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $100$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $100$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 + 0$

단계 4.1.5.2

$- 3 x^{2} + 24 x - 21$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 24 x - 21$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 24 x - 21$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 3 x^{2} + 24 x - 21$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0$

단계 5.2.1.2

$24 x$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} - 3 (- 8 x) - 21 = 0$

단계 5.2.1.3

$- 21$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} - 3 (- 8 x) - 3 \cdot 7 = 0$

단계 5.2.1.4

$- 3 (x^{2}) - 3 (- 8 x)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (x^{2} - 8 x) - 3 \cdot 7 = 0$

단계 5.2.1.5

$- 3 (x^{2} - 8 x) - 3 (7)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 7$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $7$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 7, - 1$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 3 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 3 (x - 7) (x - 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.4

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 5.4.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 5.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.6

$- 3 (x - 7) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 7, 1$

단계 8

$x = 7$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 \cdot 7 + 24$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- 6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 42 + 24$

단계 9.2

$- 42$ 를 $24$ 에 더합니다.

$- 18$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 7$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 7$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 7$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f (7) = - {(7)}^{3} + 12 {(7)}^{2} - 21 \cdot 7 + 100$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (7) = - 1 \cdot 343 + 12 {(7)}^{2} - 21 \cdot 7 + 100$

단계 11.2.1.2

$- 1$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$f (7) = - 343 + 12 {(7)}^{2} - 21 \cdot 7 + 100$

단계 11.2.1.3

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (7) = - 343 + 12 \cdot 49 - 21 \cdot 7 + 100$

단계 11.2.1.4

$12$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$f (7) = - 343 + 588 - 21 \cdot 7 + 100$

단계 11.2.1.5

$- 21$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f (7) = - 343 + 588 - 147 + 100$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$- 343$ 를 $588$ 에 더합니다.

$f (7) = 245 - 147 + 100$

단계 11.2.2.2

$245$ 에서 $147$ 을 뺍니다.

$f (7) = 98 + 100$

단계 11.2.2.3

$98$ 를 $100$ 에 더합니다.

$f (7) = 198$

단계 11.2.3

최종 답은 $198$ 입니다.

$y = 198$

단계 12

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 \cdot 1 + 24$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 + 24$

단계 13.2

$- 6$ 를 $24$ 에 더합니다.

$18$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2} - 21 \cdot 1 + 100$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2} - 21 \cdot 1 + 100$

단계 15.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 1 + 12 {(1)}^{2} - 21 \cdot 1 + 100$

단계 15.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - 1 + 12 \cdot 1 - 21 \cdot 1 + 100$

단계 15.2.1.4

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 1 + 12 - 21 \cdot 1 + 100$

단계 15.2.1.5

$- 21$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 1 + 12 - 21 + 100$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 1$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f (1) = 11 - 21 + 100$

단계 15.2.2.2

$11$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 10 + 100$

단계 15.2.2.3

$- 10$ 를 $100$ 에 더합니다.

$f (1) = 90$

단계 15.2.3

최종 답은 $90$ 입니다.

$y = 90$

단계 16

$f (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 100$ 에 대한 극값입니다.

$(7, 198)$ 은 극댓값임

$(1, 90)$ 은 극솟값임

단계 17