미적분 예제

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[6, 16]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = x + \frac{96}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{96}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[6, 16]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

단계 7

$96$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $96$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

단계 8

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$16$ , $6$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

단계 9.1.2

$16$ , $6$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $256$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.3

$256$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.3.1

$256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.3.2.4

$128$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.4

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.5

$36$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.6

$- 36$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.7

$- 36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.7.1

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.7.2.4

$- 18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.1.3.8

$128$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

단계 9.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $16$ 사이의 거리는 $16$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

단계 9.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $6$ 사이의 거리는 $6$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

단계 9.3.3

$16$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

단계 9.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

단계 9.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

단계 9.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

단계 10

$16$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

단계 11

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$96$ 를 로그 안으로 옮겨 $96 \ln (\frac{8}{3})$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

단계 11.2

$\frac{8}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

단계 12

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

단계 12.2

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$110$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

단계 12.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

단계 12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

단계 13

$\frac{1}{10}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

단계 14

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{8^{96}}{3^{96}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2

${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$96$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2.2.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.2.3

$48$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

단계 14.3

${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

단계 14.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$96$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

단계 14.3.2.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

단계 14.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

단계 14.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

단계 14.3.3

$48$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

단계 15