미적분 예제

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

단계 2.1.2

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$56 u$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

단계 2.1.2.2

$- 2 u^{2}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

단계 2.1.2.3

$- 4 u^{3}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

단계 2.1.2.4

$2 u (28) + 2 u (- u)$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

단계 2.1.2.5

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

단계 2.1.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

단계 2.1.3.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.2.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

단계 2.1.3.1.2.2

$- 1$ 를 $7$ + $- 8$ 로 다시 씁니다.

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

단계 2.1.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

단계 2.1.3.1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

단계 2.1.3.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

단계 2.1.3.1.4

최대공약수 $- 2 u + 7$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

단계 2.1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

단계 2.1.4

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 2.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.4

$- 2 x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 2 x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 x + 7 = 0$

단계 2.4.2

$- 2 x + 7 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$- 2 x = - 7$

단계 2.4.2.2

$- 2 x = - 7$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$- 2 x = - 7$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 7}{- 2}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{7}{2}$

단계 2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.6

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

조건제시법:

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

치역: $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

단계 6