미적분 예제

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

단계 1

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

단계 2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ 가 됩니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

단계 2.2.3

$\frac{π}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

단계 2.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

단계 2.2.4.2

$\cos (x + \frac{π}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x + \frac{π}{2})$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

단계 3.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

단계 3.2.3

$\frac{π}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

단계 3.2.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

단계 5

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

단계 7

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{2}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π - π}{2}$

단계 7.3

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 7.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 8

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.1.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 9.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

단계 9.1.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{2}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

단계 9.2.3

$3 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 π}{2}$

단계 9.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 π}{2}$

단계 9.2.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = π$

단계 10

방정식 $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 11

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$0$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{π}{2})$

단계 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 12.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 13

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 14

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

단계 14.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$0$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

단계 14.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1$

단계 14.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 15

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

단계 16

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 16.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 16.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

단계 16.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

단계 16.3.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 16.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

단계 16.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- (- 1 \cdot 1)$

단계 16.6

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- - 1$

단계 16.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1$

단계 17

이계도함수가 양수이므로 $x = π$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 18

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

단계 18.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 18.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 18.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

단계 18.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

단계 18.2.3.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 18.2.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

단계 18.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = - 1 \cdot 1$

단계 18.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = - 1$

단계 18.2.7

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 19

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 1)$ 은 극댓값임

$(π, - 1)$ 은 극솟값임

단계 20