미적분 예제

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

단계 1

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 2.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 2.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

단계 2.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

단계 2.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.9.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.12

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.13

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.15

$6$ 와 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.16

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.17

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.18

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.18.1

$3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.18.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.5.18.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 2.6

$\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.6.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

단계 2.6.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

단계 2.6.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

단계 2.6.8

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

단계 2.7.2

항을 묶습니다.

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단계 2.7.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

단계 2.7.2.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

단계 2.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.2

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.4.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.8

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.8.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.10

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.12.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.12.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.14

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.15

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.16

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.18

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.19

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.20

지수를 더하여 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 에 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.20.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.20.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.20.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.20.4

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.21

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.22

$- 4$ 와 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3.23

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

단계 3.4.2

$- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

단계 5.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

단계 5.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

단계 5.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 5.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 5.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 5.1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 5.1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

단계 5.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

단계 5.1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.4

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.9.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.12

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.13

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.15

$6$ 와 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.16

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.17

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.18

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.18.1

$3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.18.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.5.18.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5.1.6

$\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

단계 5.1.6.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 5.1.6.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 5.1.6.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 5.1.6.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 5.1.6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

단계 5.1.6.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

단계 5.1.6.8

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

단계 5.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

단계 5.1.7.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.7.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

단계 5.1.7.2.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

단계 5.1.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 입니다.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

단계 6.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = 0, 2$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

단계 7.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

단계 7.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

단계 7.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

단계 7.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x - 1}$ 을(를) ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 7.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 7.3.2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 7.3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

단계 7.3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x - 1 = 0^{3}$

단계 7.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x - 1 = 0$

단계 7.3.3

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 8

계산할 임계점.

$x = 0, 2, 1$

단계 9

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 10.1.1.2

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 10.1.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 10.1.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 10.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

단계 10.1.1.5

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

단계 10.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 - \frac{4}{3}$

단계 10.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 10.3

$- 4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 10.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

단계 10.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 - 4}{3}$

단계 10.5.2

$- 12$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- 16}{3}$

단계 10.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16}{3}$

단계 11

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 12

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.2

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.6

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

단계 12.2.1.7

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

단계 12.2.1.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

단계 12.2.1.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 6 - 2$

단계 12.2.2

$6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (0) = 4$

단계 12.2.3

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 13

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

단계 14.1.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

단계 14.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 - \frac{4}{3}$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 14.3

$- 4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

단계 14.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 - 4}{3}$

단계 14.5.2

$- 12$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- 16}{3}$

단계 14.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16}{3}$

단계 15

이계도함수가 음수이므로 $x = 2$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

단계 16

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

단계 16.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

단계 16.2.1.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

단계 16.2.1.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

단계 16.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

단계 16.2.1.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2) = 6 - 2$

단계 16.2.2

$6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (2) = 4$

단계 16.2.3

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 17

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.1.2

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 18.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 18.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

단계 18.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

단계 18.3.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 4 - \frac{4}{0}$

단계 18.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- 4 - \frac{4}{0}$

단계 18.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 19

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

단계 19.2

1차 도함수 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1.1

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.2.2.1.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.2.2.2

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.2.2.3

최종 답은 $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.3

1차 도함수 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 의 $(0, 1)$ 구간에서 $0.5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.5$ 을 대입합니다.

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.2.1.1

$- 4$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.3.2.1.2

$0.5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.3.2.2

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.3.2.3

최종 답은 $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.4

1차 도함수 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 의 $(1, 2)$ 구간에서 $1.5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.5$ 을 대입합니다.

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.2.1.1

$- 4$ 에 $1.5$ 을 곱합니다.

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.4.2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.2.1.2.1

$1.5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.4.2.1.2.2

$0.5$ 를 $\frac{1}{3}$ 승 합니다.

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

단계 19.4.2.1.3

$4$ 을 $0.79370052$ 로 나눕니다.

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

단계 19.4.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.2.2.1

$- 6$ 를 $5.03968419$ 에 더합니다.

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

단계 19.4.2.2.2

$- 0.9603158$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (1.5) = 3.03968419$

단계 19.4.2.3

최종 답은 $3.03968419$ 입니다.

$3.03968419$

단계 19.5

1차 도함수 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 의 $(2, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.2.1.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.5.2.1.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

단계 19.5.2.2

$- 16$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.5.2.3

최종 답은 $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

단계 19.6

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극댓값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 19.7

1차 도함수의 부호가 $x = 1$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 1$ 은 극솟값입니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 19.8

1차 도함수의 부호가 $x = 2$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 2$ 은 극댓값입니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

단계 19.9

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = 1$ 은 극소값입니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = 1$ 은 극소값입니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

단계 20