미적분 예제

$y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

단계 1

$y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 8 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.2

합의 법칙에 의해 $8 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 2.4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 2.4.8

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 2.4.9

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 2.4.10

$- 1 x^{3}$ 을 $- x^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 2.4.11

$8 - x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

단계 2.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

단계 2.5.3.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

단계 2.5.3.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

단계 2.5.3.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

단계 2.5.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

단계 2.5.3.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

단계 2.5.3.4

$- x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 2.5.3.5

$- 4 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 2.5.3.6

$24 x^{2}$ 를 $24 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 3.2.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 (2 x)$

단계 3.3.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 96 x$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

단계 5.1.4

$\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 8 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.1.4.2

합의 법칙에 의해 $8 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.1.4.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.1.4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.1.4.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 5.1.4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 5.1.4.8

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 5.1.4.9

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 5.1.4.10

$- 1 x^{3}$ 을 $- x^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

단계 5.1.4.11

$8 - x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

단계 5.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

단계 5.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

단계 5.1.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.3.1

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

단계 5.1.5.3.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

단계 5.1.5.3.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.3.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

단계 5.1.5.3.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

단계 5.1.5.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

단계 5.1.5.3.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

단계 5.1.5.3.4

$- x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 5.1.5.3.5

$- 4 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 을 뺍니다.

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 5.1.5.3.6

$24 x^{2}$ 를 $24 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 8 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 입니다.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

단계 6.2

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 에서 $- 8 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 8 x^{3}$ 에서 $- 8 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x^{2} x + 48 x^{2} = 0$

단계 6.2.2

$48 x^{2}$ 에서 $- 8 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 6 = 0$

단계 6.2.3

$- 8 x^{2} (x) - 8 x^{2} (- 6)$ 에서 $- 8 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x^{2} (x - 6) = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

단계 6.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.5

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 6.5.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 6.6

$- 8 x^{2} (x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 6$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 0, 6$

단계 9

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 24 {(0)}^{2} + 96 (0)$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 24 \cdot 0 + 96 (0)$

단계 10.1.2

$- 24$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 96 (0)$

단계 10.1.3

$96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 10.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 11

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

단계 11.2

1차 도함수 $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - 8 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 11.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 8 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 11.2.2.1.2

$- 8$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 64 + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 11.2.2.1.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 64 + 48 \cdot 4$

단계 11.2.2.1.4

$48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 64 + 192$

단계 11.2.2.2

$64$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 256$

단계 11.2.2.3

최종 답은 $256$ 입니다.

$256$

단계 11.3

1차 도함수 $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(0, 6)$ 구간에서 $3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = - 8 {(3)}^{3} + 48 {(3)}^{2}$

단계 11.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (3) = - 8 \cdot 27 + 48 {(3)}^{2}$

단계 11.3.2.1.2

$- 8$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - 216 + 48 {(3)}^{2}$

단계 11.3.2.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = - 216 + 48 \cdot 9$

단계 11.3.2.1.4

$48$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - 216 + 432$

단계 11.3.2.2

$- 216$ 를 $432$ 에 더합니다.

$f' (3) = 216$

단계 11.3.2.3

최종 답은 $216$ 입니다.

$216$

단계 11.4

1차 도함수 $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(6, \infty)$ 구간에서 $8$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f' (8) = - 8 {(8)}^{3} + 48 {(8)}^{2}$

단계 11.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (8) = - 8 \cdot 512 + 48 {(8)}^{2}$

단계 11.4.2.1.2

$- 8$ 에 $512$ 을 곱합니다.

$f' (8) = - 4096 + 48 {(8)}^{2}$

단계 11.4.2.1.3

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (8) = - 4096 + 48 \cdot 64$

단계 11.4.2.1.4

$48$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f' (8) = - 4096 + 3072$

단계 11.4.2.2

$- 4096$ 를 $3072$ 에 더합니다.

$f' (8) = - 1024$

단계 11.4.2.3

최종 답은 $- 1024$ 입니다.

$- 1024$

단계 11.5

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 11.6

1차 도함수의 부호가 $x = 6$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 6$ 은 극댓값입니다.

$x = 6$ 은 극대값입니다

단계 12