미적분 예제

$y = x^{4} e^{- x}$

단계 1

$y = x^{4} e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

단계 2.4.2

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4} e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.2

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.6

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3} e^{- x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

단계 3.3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.3.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.3.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

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단계 3.4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.2

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.5

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

단계 3.4.3.6

$- 4 e^{- x} x^{3}$ 에서 $4 x^{3} e^{- x}$ 을 뺍니다.

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단계 3.4.3.6.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

단계 3.4.3.6.2

$- 4 x^{3} e^{- x}$ 에서 $4 x^{3} e^{- x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

단계 3.4.5

$e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1.1

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

단계 5.1.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

단계 5.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

단계 5.1.4.2

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 입니다.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

단계 6.2

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 에서 $x^{3} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- x^{4} e^{- x}$ 에서 $x^{3} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

단계 6.2.2

$4 x^{3} e^{- x}$ 에서 $x^{3} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

단계 6.2.3

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ 에서 $x^{3} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

단계 6.4

$x^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} = 0$

단계 6.4.2

$x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 6.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6.5

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 6.5.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 6.5.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 6.5.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 6.6

$- x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$- x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 4 = 0$

단계 6.6.2

$- x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 6.6.2.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.6.2.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.6.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 6.7

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 0, 4$

단계 9

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.6

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.7

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.9

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

단계 10.1.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

단계 10.1.11

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

단계 10.1.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 e^{0}$

단계 10.1.13

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

단계 10.1.14

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 10.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 10.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 11

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

단계 11.2

1차 도함수 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

단계 11.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

단계 11.2.2.1.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

단계 11.2.2.1.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

단계 11.2.2.1.4

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

단계 11.2.2.1.5

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

단계 11.2.2.1.6

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

단계 11.2.2.2

$- 16 e^{2}$ 에서 $32 e^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

단계 11.2.2.3

최종 답은 $- 48 e^{2}$ 입니다.

$- 48 e^{2}$

단계 11.3

1차 도함수 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 의 $(0, 4)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.5

$- 16$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.7

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

단계 11.3.2.1.8

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

단계 11.3.2.1.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

단계 11.3.2.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

단계 11.3.2.1.11

$32$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

단계 11.3.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

단계 11.3.2.2.2

$- 16$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

단계 11.3.2.3

최종 답은 $\frac{16}{e^{2}}$ 입니다.

$\frac{16}{e^{2}}$

단계 11.4

1차 도함수 $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ 의 $(4, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1.1

$6$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.2

$- 1$ 에 $1296$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.3

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.5

$- 1296$ 와 $\frac{1}{e^{6}}$ 을 묶습니다.

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.7

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

단계 11.4.2.1.8

$4$ 에 $216$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

단계 11.4.2.1.9

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

단계 11.4.2.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

단계 11.4.2.1.11

$864$ 와 $\frac{1}{e^{6}}$ 을 묶습니다.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

단계 11.4.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

단계 11.4.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.2.2.1

$- 1296$ 를 $864$ 에 더합니다.

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

단계 11.4.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

단계 11.4.2.3

최종 답은 $- \frac{432}{e^{6}}$ 입니다.

$- \frac{432}{e^{6}}$

단계 11.5

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극솟값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11.6

1차 도함수의 부호가 $x = 4$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 4$ 은 극댓값입니다.

$x = 4$ 은 극대값입니다

단계 11.7

$f (x) = x^{4} e^{- x}$ 에 대한 극값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

$x = 4$ 은 극대값입니다

$x = 0$ 은 극소값입니다.

$x = 4$ 은 극대값입니다

단계 12