미적분 예제

$y = e^{2 x} - e^{x}$

단계 1

$y = e^{2 x} - e^{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.2.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 x} - e^{x}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{2 x} - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{2 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.2.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.2.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

단계 5.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 e^{2 x} - e^{x}$ 입니다.

$2 e^{2 x} - e^{x}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

단계 6.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 6.2.1

$e^{2 x}$ 을 ${(e^{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

단계 6.2.2

$u = e^{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 u^{2} - u = 0$

단계 6.2.3

$2 u^{2} - u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.3.1

$2 u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (2 u) - u = 0$

단계 6.2.3.2

$- u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

단계 6.2.3.3

$u (2 u) + u \cdot - 1$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (2 u - 1) = 0$

단계 6.2.4

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

단계 6.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 6.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 6.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 6.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 6.5

$2 e^{x} - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$2 e^{x} - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 e^{x} - 1 = 0$

단계 6.5.2

$2 e^{x} - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 e^{x} = 1$

단계 6.5.2.2

$2 e^{x} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.5.2.2.1

$2 e^{x} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.5.2.2.2.1.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{x} = \frac{1}{2}$

단계 6.5.2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

단계 6.5.2.4

왼편을 확장합니다.

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단계 6.5.2.4.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

단계 6.5.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

단계 6.5.2.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

단계 6.6

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

단계 9

$x = \ln (\frac{1}{2})$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

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단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ 을 간단히 합니다.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 10.1.7

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$1 - \frac{1}{2}$

단계 10.2

식을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 10.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 - 1}{2}$

단계 10.2.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2}$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = \ln (\frac{1}{2})$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = \ln (\frac{1}{2})$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\ln (\frac{1}{2})$ 을 대입합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ 을 간단히 합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 12.2.1.6

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

단계 12.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 12.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 12.2.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

단계 12.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

단계 12.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

단계 12.2.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

단계 12.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

단계 12.2.7

최종 답은 $- \frac{1}{4}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{4}$

단계 13

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ 은 극솟값임

단계 14