미적분 예제

$g (x) = 3 x^{4} - 12 x^{2} + 9$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 12 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$12 x^{3} - 24 x + 0$

단계 1.4.2

$12 x^{3} - 24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{3} - 24 x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} - 24 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 가 됩니다.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$g'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$g'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = 36 x^{2} - 24 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = 36 x^{2} - 24$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$12 x^{3} - 24 x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 12 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (9)$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x + 0$

단계 4.1.4.2

$12 x^{3} - 24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x$

단계 4.2

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{3} - 24 x$ 입니다.

$12 x^{3} - 24 x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{3} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{3} - 24 x = 0$

단계 5.2

$12 x^{3} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) - 24 x = 0$

단계 5.2.2

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) = 0$

단계 5.2.3

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2} - 2) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

단계 5.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x^{2} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 5.5.2

$x^{2} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 5.5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 5.5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 5.5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 5.6

$12 x (x^{2} - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$36 {(0)}^{2} - 24$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$36 \cdot 0 - 24$

단계 9.1.2

$36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 24$

단계 9.2

$0$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 24$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$g (0) = 3 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{2} + 9$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$g (0) = 3 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 9$

단계 11.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$g (0) = 0 - 12 {(0)}^{2} + 9$

단계 11.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$g (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

단계 11.2.1.4

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$g (0) = 0 + 0 + 9$

단계 11.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g (0) = 0 + 9$

단계 11.2.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$g (0) = 9$

단계 11.2.3

최종 답은 $9$ 입니다.

$y = 9$

단계 12

$x = \sqrt{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 24$

단계 13.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 24$

단계 13.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24$

단계 13.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24$

단계 13.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$36 \cdot 2^{1} - 24$

단계 13.1.1.5

지수값을 계산합니다.

$36 \cdot 2 - 24$

단계 13.1.2

$36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$72 - 24$

단계 13.2

$72$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$48$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = \sqrt{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \sqrt{2}$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = \sqrt{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 {(\sqrt{2})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{2} - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$g (\sqrt{2}) = 3 \cdot 4 - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9$

단계 15.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9$

단계 15.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 9$

단계 15.2.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 9$

단계 15.2.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 15.2.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 15.2.1.5

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (\sqrt{2}) = 12 - 24 + 9$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$g (\sqrt{2}) = - 12 + 9$

단계 15.2.2.2

$- 12$ 를 $9$ 에 더합니다.

$g (\sqrt{2}) = - 3$

단계 15.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$y = - 3$

단계 16

$x = - \sqrt{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$36 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 24$

단계 17.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 24$

단계 17.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$36 {\sqrt{2}}^{2} - 24$

단계 17.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 24$

단계 17.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 24$

단계 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24$

단계 17.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24$

단계 17.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$36 \cdot 2^{1} - 24$

단계 17.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$36 \cdot 2 - 24$

단계 17.1.5

$36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$72 - 24$

단계 17.2

$72$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$48$

단계 18

이계도함수가 양수이므로 $x = - \sqrt{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \sqrt{2}$ 은 극소값입니다.

단계 19

$x = - \sqrt{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 {(- \sqrt{2})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 19.2.1.1

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 19.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.1.4.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.1.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.4.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 2^{2} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 3 \cdot 4 - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.7

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 9$

단계 19.2.1.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 9$

단계 19.2.1.9

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 {\sqrt{2}}^{2} + 9$

단계 19.2.1.10

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9$

단계 19.2.1.10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9$

단계 19.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 9$

단계 19.2.1.10.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.10.4.1

공약수로 약분합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 9$

단계 19.2.1.10.4.2

수식을 다시 씁니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 19.2.1.10.5

지수값을 계산합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 19.2.1.11

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (- \sqrt{2}) = 12 - 24 + 9$

단계 19.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 19.2.2.1

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$g (- \sqrt{2}) = - 12 + 9$

단계 19.2.2.2

$- 12$ 를 $9$ 에 더합니다.

$g (- \sqrt{2}) = - 3$

단계 19.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$y = - 3$

단계 20

$g (x) = 3 x^{4} - 12 x^{2} + 9$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 9)$ 은 극댓값임

$(\sqrt{2}, - 3)$ 은 극솟값임

$(- \sqrt{2}, - 3)$ 은 극솟값임

단계 21